- 有哪些人生错觉? - 输了没事,再多赌几把,最后肯定回本
图片:《赌神》如果赌博输赢的概率是 50%,那为什么长久赌博的人多会倾家荡产而不是收益均衡?
因为赌徒面对个人信贷约束。
按照题主的假设,每一把输赢概率都是 50%,顺便简化一下,输赢得到或失去的钱相等(1 个单位)。
1) 如果赌徒可以无限借钱,那么他的财富值 是一个鞅::在任意时刻,展望未来任意次赌博后的预期财富,与当前财富相等。这就是所谓的“收支平衡”。
2) 如果赌徒有初始财富 W, 所有可以借到的钱为 C,输光(W+C)后必须滚出赌场,那么他的财富值则变成了停时过程 。不妨假设他自制力比较强,一旦净赚到 A 就收手,那么可以证明,
他能成功的概率为 。当 A 足够大,输光( )的概率几乎为 1,这就是所谓的"倾家荡产"。
现实中的赌棍,赢钱的时候存在感不强,而输了本钱时,总想四处借钱翻本。身边的人钱也有限,所以直到他借遍所有人,最终被催债的逼死。更不用说,其他答主已经提到的,赌场并不会跟赌徒玩 50% 的公平游戏。
我个人觉得这其实是一道综合问题,还蛮有趣的,所以想分步说明一下。
1、绝大多数赌博,输赢的概率不是 50% 也不应该是 50%,因为赌场仍然是一个以盈利为目的的机构。0 期望值并不能满足赌场的场地、人员、设备等支出需求,这点很多其他回答都提到了,不再赘述。
2、「如果」赌博输赢的概率是 50%,那么会出现什么情况呢?就是 @Lyken 提到的,公平硬币条件下的 Gambler's Ruin。但这里有个很有趣的问题,我们知道玩家相对于赌场赢的概率接近于 0,但是这个过程耗费的时间要多少呢?
3、比如 A 有 10000 元,每次翻硬币胜负赌 1 元,那么即使赌场的赌本是无限的,那么在 A 的寿命范围内他输光的概率仍然非常趋近于零,A 的期望是收支均衡(当然,所有公平赌博的期望都是收支均衡)。假如我们有一万个 A,并且计算他们的平均收益,得到的也是收支均衡,而基本没有 A 会因此倾家荡产。
4、比如 B 有 10000 元,每次翻硬币胜负赌 1000 元,那么……也不用说啥了,假如我们有一万个 B,会在比较短的时间内就看到大量的 B 倾家荡产。请注意,这里 B 们的期望收益仍然是平衡的。在高波动下,有幸运儿完全可能赚到 5 万 10 万甚至 100 万,这恰恰就是赌徒们梦寐以求的目标,只是同时你也会看到大量的 B 倾家荡产而已。
5、A 和 B 之间的区别,在德州扑克类游戏里称之为资金管理,即让波动维持在一个可控范围内,去使现实收益尽可能大概率的接近于期望值。
6、问题在于,能理解资金管理概念的 A 们根本就不会去「长久赌博」一个输赢概率为 50% 的游戏。(没有期望收益,超低单价也缺乏刺激感)。所以在赌徒这个人群中,你只会看到海量的 B 们。
7、现在我们回到了第二步。长期来看,在 50% 概率下赌场和赌徒整体都是收支平衡的,但波动 / 单价越大,同样时间内 B 中破产人口所占的比例就越高。而我们也通过前面几步说明了——能「长久赌博」的人,几乎总能维持一个让他们有足够破产比例的高单价。
8、当然更别说,赌场的胜率很显然不是 50% 了。事实上你回顾一下上文,就会发现赌场本身就是一个资金规模巨大的玩家 A。
纠正一下大部分回答,的确很多赌博游戏庄家胜率高,但也有胜率接近 50%,甚至散家胜率高的。但本题问的是,为什么即便在这些平衡的游戏中(胜率 50%,不考虑抽成,不考虑出千),也鲜有收支平衡的赌徒。这个问题的实质是赌徒之殇(Gambler's ruin - Wikipedia),即赌资大小决定胜率。
现两人对赌,每个人的胜率相等,计算赌徒 A 盈利的期望
总盈利的期望等于每一轮的期望之和。由于这游戏是公平的,即双方胜负概率相当。可得
然后,从另外一个角度来计算总盈利的期望,
其中 表示盈亏为 元的概率。经过无限轮以后,必然以其中一人破产告终,因此可得
和 ,p 和 q 为两人的赌资。
结合两个式子,可以得知两人获胜的概率分别为 和 ,也就是在经过无限轮以后,如果赌徒 A 的赌资是赌徒 B 的 N 倍,那么赌徒 A 的胜率也是赌徒 B 的 N 倍!
即便 55 开的局面,在面对赌资是你无限倍的赌场时,散客常在河边走而不湿鞋的概率几乎为零,更遑论胜率小于 50%,赌场要抽成的情况了。小赌伤身,大赌必输,珍爱生命,远离赌博。
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