三角形角平分线定理(三角形内角平分线定理)

三角形角平分线定理

定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

证明：

证明：如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC

∵AD是∠BAC的平分线

∴∠BAD=∠CAD

∵DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为B、C

∴∠ABD=∠ACD=90°

又 AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴CD=BD

故原命题得证。

角平分线定理性质

1、角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。（定义）

2、角平分线上的点到角的两边的距离相等。

3、三角形的内外角平分线内、外分对边与其延长线所得的两条线段与夹这个角的两边对应成比例。

三角形内角平分线定理

三角形角平分线定理内容是：

1、角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

2、三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

角平分线定理1是描述角平分线上的点到角两边距离定量关系的定理，也可看作是角平分线的性质。

角平分线定理2是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。

三角形内角平分线性质定理：在ΔABC中，若AD是∠A的平分线，则BD/DC=AB/AC。

应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例。

三角形内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。

三角形外角平分线的性质定理：三角形外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例。

可通过三角函数证明：三角形ACD面积=1/2*AC*AD*sinCAD；三角形BAD面积=1/2*AB*AD*sinBAD，又有两个三角形面积比等于CD/BD，故结论得证。

参考资料来源：-角平分线定理

三角形外角平分线定理

在三角形abc中，角A的外角平分线交BC的延长线于D则：BD：CD＝AB：AC
证明：过点d作de平行ac交ba于e
因为角cad=角dae
所以角cad=dae=ade
所以ae=de
BD：CD=BE：AE=BE：DE=BA：AC
在三角形abc中，角A的外角平分线交BC的延长线于D则：BD：CD＝AB：AC
证明：过点d作de平行ac交ba于e
因为角cad=角dae
所以角cad=dae=ade
所以ae=de
BD：CD=BE：AE=BE：DE=BA：AC

三角形角平分线定理证明

△ABC中，AD是角平分线，求证：AB/AC=BD/CD．最简单的方法是用面积证明：一方面：△ABD的面积/△ACD的面积＝BD/CD（分别以BD、CD为底，高相同）。另一方面，分别以AB、AC为底计算△ABD的面积与△ACD的面积，由于高相等（角平分线上任意一点到角的两边距离相等），因此 △ABD的面积/△ACD的面积＝AB/AC。因此有 AB/AC=BD/CD。
已知△ABC中，AD是角平分线，
求证：AB/AC=BD/CD．
证明：
∵△ABD的面积/△ACD的面积＝BD/CD（分别以BD、CD为底，高相同）。
又∵分别以AB、AC为底计算△ABD的面积与△ACD的面积，由于高相等（角平分线上任意一点到角的两边距离相等）
∴△ABD的面积/△ACD的面积＝AB/AC。
∴AB/AC=BD/CD。