无理数是怎么被发现的？

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人们为什么会发现无理数，他们为什么不认为是测量不精确？

Sithferia，稍等一下我找找

人类历史上第一个发现无理数的人是这哥们。

数学史的源头就是西方哲学史的源头，所以要了解无理数的发现——第一次数学危机，就必须先了解毕达哥拉斯学派，先了解公元前 500 年的西方哲学思想。

一般说来，人类科学的发展总是满足康德（I. Kant, 1724～1804）所总结的：

所有的人类知识起源于直观经验（Intuitions），再发展出概念（Concepts），最后止于理念（Ideas）。

古希腊人将古埃及和古巴比伦积累下来的经验常识，通过逻辑发展成一套自称体系的演绎系统，由一些基本原理（公理）推导出所有的结论（定理）。这种从经验常识到理论的转变，在人类史上称之为「希腊奇迹」（Greek Miracle）之一。

阿拉伯数字是在公元 7 世纪传入欧洲，再过了 500 年才被欧洲学者采用。所以千万不要认为古希腊数学采用的是阿拉伯数字，某种程度上拉丁字母罗马数字阻碍了数论的发展。

在那个蛮荒的年代最开始发展起来的是几何学。

按希腊历史学家希罗多德（Herodotus, BC 485～425）的说法，几何学始于「测地」。古埃及尼罗河泛滥淹没土地，每次水退之后就必须重新丈量。几何学「Geometry」一词就是由「Geometrein」演变而来，其中词根「Geo」指土地，「metrein」指测量。

德谟克利特（Democritus,BC 460～370）曾提到过当时测量土地的技术员——操绳师（Rope-stretchers），拥有精湛的测量技术和丰富的几何知识，几乎和他一样牛哔。

几何观念的第二来源就是航海和天文学，大量的概念诸如点、线、三角、多边形、圆应用于海图和星图等平面图的绘制，应用于航海、农耕、历法等领域。

第三来源是日常生活的测量，由此引出了长度、面积、容积体积、表面积、重心等概念，也总结出一些计算公式。

以上经验知识放眼全世界的话，各古老民族都或多或少出现过，但从经验常识到系统逻辑的哲学转变却只发生在古希腊。由大名鼎鼎的哲学之父泰勒斯（Thales, BC 625～546）发端。

根据亚里士多德的学生欧德摩斯（Eudemus, BC 330）的说法，泰勒斯曾游学埃及，他是第一位将埃及的几何知识引进希腊的人。他试图将各种几何结果排列成逻辑链条（Logical Chain），排在前面的可以推导出排在后面的，并自创了一套证明方法论，虽然此时他的论证方法略显拙劣，偶尔采用经验式的方法进行论证。但相较于古埃及和古巴比伦人的做法，泰勒斯是第一个将几何图形抽象化概念化，并对一些命题进行普遍性描述的人。某种程度上这就是哲学的诞生。

在更早的古人概念里，并不存在「圆形」这个抽象概念（Concept），日常生活中人们看到车轮是圆的，月亮是圆的，锅碗是圆的，所以在几何知识应用中只能看到车轮、月亮、锅碗这些概念，并没有所谓的：在平面上，与一个定点等距离的所有点组成的图形，这种剥离具象形象的抽象概念。在泰勒斯之后，古希腊哲学家第一次开始总结抽象的几何学概念。

数学史家公认的以下六个几何基本命题归功于泰勒斯^[1]：

两直线相交，对顶角相等；
一个圆被其直径分为两半；
等腰三角形的两个底角相等；
半圆的内接角是一个直角；
两个三角形如果有两个角及其夹边对应相等，则两个三角形全等；
两个三角形若内角对应相等，则对应边成比例。

也就是说我们几何学里的一些公理定理是哲学之父的总结。

在泰勒斯的工作基础上，才会有毕达哥拉斯学派的诞生，因为毕达哥拉斯就是泰勒斯的学生。

接下来重点来了。

希腊的先哲开始针对泰勒斯的理论提出一些质疑性的问题。

比较有代表性的如：既然抽象的几何图形都是由点构成的，那么一个点究竟有多大？？？

当时的舆论就已经出现连续派和离散派两派观点了。

连续派主张一条线段可以经过无穷步骤的分割，最终得到一个点，令其长度为 d，则对于 d 而言：d=0，且 d 为无穷小（infinitesimal）。

离散派主张一条线段只能作有限步骤的分割，线段经过一个（大数）有穷分割后，得到一个点，虽然 d 很小，但 d>0。

毕达哥拉斯采用老师的原子论（Atomism）观点来研究这个问题。他是这么分析连续派的假说的：

如果 d=0，由于线段是由点组成的，那么就会产生一条由「没有长度」的点组成的「有长度」的线段，这是一种「无中生有」（something out of nothing），显然 d 不能为 0；

如果 d 为无穷小，那么什么是无穷小？如果 d 为 0 就会落入「无中生有」的陷阱，那 d 可能是某个很小很小但大于 0 的数吗？这也不行，因为线段是由无穷多个点组合而成的，就算 d 很小很小，无穷个点加起来也是无穷大，这也是一个诡异的矛盾！

这样毕达哥拉斯就只能采用离散派的主张了：点有一定的大小，且长度 d>0。换言之，在毕达哥拉斯学派的眼光里，世界万物都是离散的。线段是由具有一定大小的点排列而成的，就像珍珠项链一样。

基于这个源头上暂且认同的假说，毕达哥拉斯得出了两个定理：

定理一：任何两条线段 a 与 b 都是可通约的（commensurable），即存在通约单位 u>0，使得 a=m·u 且 b=n·u，其中 m 和 n 为两个自然数。

定理二：任何两条线段 a 与 b 可通约? $\Leftrightarrow$ ?a/b 为一个有理数。

注意，有理数的定义就这样诞生了，源于一个离散点的几何思想。

用更通俗一点的话来讲，假如我们人为地取一个通约单位 u，例如一把长 1 米的尺子，用这个尺子去度量一个线段。假如头尾相接量三次，恰好量完，那么我们就说这条线段长 3 米。

如果三次量不尽咋办？把剩下的部分，用更小一点的通约单位，例如分米，再去量，如果量四次恰好量完，那么这线段就长 3 米又 4 分米。

如果换分米尺还量不尽咋办？把剩下的部分，用更更小的通约单位，厘米去量。

那么这样一直量下去，会不会永远量不完呢？毕达哥拉斯学派说：不会，因为永远存在那么一个通约单位 u，哪怕这个 u 很小很小很小，你量了成千上万次，但总归会量完的。

因此在毕达哥拉斯学派的理论里，一切度量只会出现有理数（Rational Numbers），有理数又叫做比数，这也就是为什么我们所学的有理数定义与通约比值相关的最重要的原因。

毕达哥拉斯学派用整数及其比值的算数方法，成功将古希腊几何学算数化、有理化。其主要内容如下：

利用「任意两线段皆可通约」推导出长方形的面积公式，从而给出毕达哥拉斯定理的算数证明。
利用「任意两线段皆可通约」推导出相似三角形的基本定理。
提出平行的概念，证明三角形内角和定理，从而推导出用同样的正多边形铺地板只有三种样式，正多面体只有五种。

但好景不长，毕达哥拉斯学派出了个得意门生叫希帕索斯，这人发现正四边形与正五边形，其任意一条边和对角线都是不可通约的（incommensurable）。即在下图中的 AB 和 AC 两条线段。

那么希帕索斯是怎么发现这个问题的呢？要知道当时并没有阿拉伯数字和现代代数运算。

我们拿正方形来举例，假设变长为 m，对角线长 n，则根据毕达哥拉斯定理有? $m^{2}+m^{2}=n^{2}$ 。

也就是说存在自然数 m 和自然数 n，恒有? $2m^{2}=n^{2}$ 。

希帕索斯使用毕达哥拉斯学派独有的数形结合的方法，证明了假如存在自然数 m 和自然数 n，恒有? $2m^{2}\ne n^{2}$ 。

在介绍希帕索斯的毕达哥拉斯学派证明方法前，需要先铺垫一些小知识：

「计算」的英文 calculate 与现代医学里的「结石」（calculus）非常相似，就是因为 calculus 保留了一部分古意，在古希腊时代，毕达哥拉斯学派是通过摆弄石头成各种形状来进行数学和几何演绎的。

例如 10 这个数，他们叫三角形数或矩形数，因为可以用石头摆成这样：

在毕达哥拉斯学派眼里，勾三股四玄五是这样的有形数（Figurate Numbers）。

数与形是表里如一的，所有整数都有其「形」，且任意两个有理数都可通约。

在这种情况下，对于正方形的边长与对角线的关系? $2m^{2}=n^{2}$ ?而言，其实是在说两个相同的较小正方形有理数 m 可以重排成一个大的正方形有理数 n。

比如观察 49 与 50 这两个数， $7^{2}=49$ ， $5^{2}+5^{2}=50$ 。图形如下：

假设 A 可以重排成两个相同的正方形 B 和 C，那么 A 扣除掉 B 所剩的部分 A\B 必能排列成 C。

也就是说零头部分的两个 2*2 的正方形数加起来和中间空档 3*3 的正方形数一样大。

但显然? $3^{2}\ne 2^{2}+2^{2}$ ；且对于? $3^{2}$ ?和? $2^{2}$ ?这两个正方形数而言，完全可以采用相同的做法，把? $3^{2}$ ?的正方形挖掉? $2^{2}$ ?的一部分，剩下的零头就是两个? $1^{2}$ ?，中间的空档变成一个? $1^{2}$ ?。