地球的圆是什么程度的圆?

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地球的圆是什么程度的圆?

图片:WikiImages / CC0

黄泽森,空间物理博士生

简单来说,地球的扁率是 0.00335,也就是说(赤道半径 - 两极半径)/ 赤道半径 ~0.00335,换言之就是差千分之三就是完美的圆。你看这地球,它又大又圆……咦?不是圆的?

由阿波罗 17 号宇航员拍摄的地球,也就是著名的“蓝色弹珠”https://www.nasa.gov/content/blue-marble-image-of-the-earth-from-apollo-17

地球到底有多扁?我们可以做一个简单的估算:

我们可以计算一下大地的等势面,先建立一个简单的坐标系:

我们可以利用高中知识,很简单地列出等势面方程:

那么对于

我们有:

从而我们得到:

其中

是扁率(Flattening),

是转动系数(Rotational Parameter)

那么我们就来验证一下我们做的对不对吧~(●'?'●)

这里我们参考了[3]的数据

咦 w(?Д?)w 好像不是那么对头欸……为啥偏差这么大?我们一定有地方做错了什么┑( ̄Д  ̄)┍

我们先来看看重力势能的公式:

这个公式假定了地球可以被当成一个质点,但实际上在计算大地水准面的时候我们不能把地球当成一个质点——我们应该考虑更高阶的变量!重力场是一个无源场,换言之,在没有质量的空间,重力势能满足:

而在球坐标系下 V 的解为:

先别怕,我们来一项一项解释(●'?'●)我们先看看球坐标系:

重力势能中的第一部分:

代表的是重力势能随距离变化的趋势,这里我们只取 n<0 的部分。

重力势能中的第二部分:

代表的是重力势能随经向(东西)和纬向(南北)变化的趋势,这里 m 代表的是东西方向,n 代表的是南北方向。我们假定地球在东西方向是均匀的,仅有南北方向的变化。

那么,最终重力势能的表达式如下:

其中

是待定的系数。

我们现在来观察一下上面的式子,我们可以发现,重力势能由三项组成,分别是:

第一项是常见质点产生的重力势能,在这里就是 0 阶近似。

第二项是重力势能的一阶近似,在这里考虑到地球的南北近似,应该有:

所以

应该为 0

第三项是重力势能的二阶近似,也就是我们需要的修正项了( ?? ω ?? )y

(? _ ?)历经千辛万苦,我们终于可以对我们求地球扁率的公式进行修正了!

我们的总势能如下(注意到这里把

换成了图 3 的

):

我们得到了修正后的扁率

!现在我们再来验证一下修正后的扁率对不对吧~

这里我们参考了[4]的

数据:

我们可以发现扁率计算值和实际值基本上就没有很大的偏差了~o( ̄▽ ̄)ブ

引用:

[1] en.wikipedia.org/wiki/G

[2] en.wikipedia.org/wiki/G

[3] smartconversion.com/oth

[4] hosting.astro.cornell.edu

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