世界是由物质波组成的，波是正弦，你说厉害不厉害

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你要问为什么物质有波动性，这就不好回答了……这应该是个哲学问题。我们可以胡扯几句，如果物质可以表示为一个函数，那么由于物质会一直存在，这个函数应该在时域上是无限的；但是物质的变化是有规律的，所以物质包含的信息量应该是有限的，不能一直瞎变，所以这个函数应该是个周期函数。周期函数，就可以叫做波了，不管是正弦波、方波、三角波……

那么为什么说波是正弦，因为波是一种周期现象，而最简单的周期函数是正弦函数。实际上任何周期函数都可以表示为一系列三角函数的和，这个方法叫做傅立叶级数。进一步的，对于非周期性的，可以用类似的方法表示为三角函数的积分（其实是 exp(ix)的积分），这个方法叫做傅里叶变换。

这个方法就太厉害了，任何的波形，我们都可以通过这种变换转变成频率和相位的关系，也就可以表示成一系列的正弦波的叠加。

这个方法为什么有用呢？现实世界中有很多系统都有相同的特性，可以叫做线性系统，这些系统是这个样子的：

1. 受到外部激励的时候，会产生相同的输出，输出的幅度与激励的幅度成正比，输出开始的时间与激励产生的时间相同。（即：线性性）
2. 受到多个外部激励的时候，产生的结果是每个外部激励产生输出的叠加。（即：可加性）

太抽象的话不好理解，我们想像一下现在我们有一面鼓，拿鼓槌去敲它，敲的这个动作就叫做激励，我们用鼓槌猛敲一下，这个激励是一下变得非常大然后马上消失，这个在信号与系统当中可以叫做冲激函数，对应的输出就叫做冲激响应。

我们用力敲一下，鼓就会发出“嘭”的一声，这个声音持续时间可以很长，在我们停手之后还会继续。这个声音就是我们系统的冲激响应。我们越用力，“嘭”的声音就越大，但是仍然是“嘭”不会变成“啪”，这就是第一条线性性。

我们现在快速敲鼓，连续敲三下，我们也会听到连续的“嘭嘭嘭”三声，每一声都紧跟着我们敲鼓的动作，即便上一个“嘭”没有结束就敲下一下也是一样。这就是线性系统的可加性。

那么如果我们不再敲鼓，而是连续地用鼓槌去给鼓面施力，会得到什么结果呢？这个问题就比较复杂了，但是有了刚才总结的两条规律，这个问题并不是不能解决。我们对鼓面施加的每个微小的力量，都可以看成是一次非常轻微的敲击，那么这个敲击也会产生一个非常轻微的“嘭”，这个“嘭”的大小跟用力的大小成正比，而最后产生的结果是这些“嘭”的叠加，那么我们会得到一个公式，假设输入的力的函数是 f(t)，而“嘭”的输出的函数是 g(t)，我们会得到：

这个积分形式也叫做卷积，一般可以用星号来表示：

不难发现卷积是可以交换的，

。

这个表达式显然是很复杂的，对于一般的 f 和 h，如果没有特殊的方法，会很难计算。

然而，有意思的是，如果我们的 f(t)是个正弦波

，那么不管 h(t)的表达式如何复杂，我们积分的结果 g(t)是个同频率的正弦波！可以通过观察这样一个事实来理解这个现象：

注：有意思的是这个叠加关系，恰好与长度为

、幅角为

，和长度为

、幅角为

的向量叠加相同，这个联系来源于复数中指数函数

与三角函数的联系。在电学当中，经常利用这个特性将正弦交变的电流和电压表示为一个复向量，这种方法叫做相量法：

（图片来源于网络）

由于任意两个同频率正弦波的叠加仍然是同频率的正弦波，而卷积可以看成是无数个同频率的正弦波通过积分叠加，所以正弦波卷积的结果仍然是正弦波。

那么这个就有意思了，对于任意一个频率的正弦波的输入，输出是幅度和相位有变化的同频率正弦波，那么由于线性系统的特性，如果我们能把输入分解成一系列正弦波的和，那么输出也就会变成一系列正弦波的和，频率相互对应。这个方法就是前面提到的傅立叶变换。它的数学表达形式：

虽然看上去很复杂，但是我们知道

，所以这个表达式只是把前面说过的跟正弦波卷积这件事，写成了复数的形式而已。实际上对于给定的

，我们写出：

，可以看出这就是前面说过的卷积；我们已经知道结果是个正弦波了，所以我们只要知道幅度和相位就可以知道 g(u)的表达式，那么我们取

和

（这两点相差 1/4 个周期）注意到

，我们可以从这两个值计算出正弦波的幅度和相位，再把两个值合写成一个复数的实部和虚部，我们就得到了

傅立叶变换的反变换具有相当对称的形式：

运用复数相关的知识不难证明这个结论。如果你想要一个更直观的解释，其实也很简单，可以运用我们前面对线性系统的知识：

考虑

，这是一组不同频率的正弦波和余弦波的叠加。在 t 不为 0 的地方，这些正弦波的相位是各自不相同的，相互抵消了，而在 t=0 的地方，所有波形的相位都相同，所以能够同向叠加，达到非常大的值，也就是说叠加之后刚好是我们前面提过的冲激函数（实际上差一个 2π的系数）。假如我们有一个线性系统，它的冲激响应（“嘭”）刚好是 f(t)，那么输入一个冲激函数，输出也就是 f(t)自己；而输入是（复）正弦波时，输出是（复）正弦波与 f(t)卷积的结果，我们知道这个卷积的结果也是个正弦波，而且幅度和相位由

决定，所以这个输出的（复）正弦波就是：

由于输入叠加之后是冲激函数，所以输出叠加之后应该是冲激响应 f(t)，我们就得到了前面的反变换的公式。

不管怎么说，从反变换的表达式我们可以看出，我们成功把 f(t)分解成了正弦波，其中角频率为ω的分量的幅度和相位由

决定。我们可以同样把系统的冲激响应 h(t)分解成正弦波，表示为

，按照我们前面的讨论，输入是 f(t)的时候，输出应该是 f(t)的每个正弦波分量产生的正弦波输出的叠加，也就是：

Amazing! 我们通过傅里叶变换，将卷积转换为了乘法。

这意味着什么呢？如果我们把所有的输入都看成是一组波，那么线性系统的输出就是对这组波中每个频率的波，都乘以相应的系数（复系数，包括幅度的变化和频率的变化），有些频率会被加强，有些频率会被减弱，但是每个频率的分量只跟这个频率的输入有关，不会增加新的频率。所以在信号与系统中，我们也把线性系统叫做滤波器。

回头说一说周期函数的问题。如果 f(t)是个周期函数，周期是 T，会发生什么样的情况呢？当我们选取的正弦波周期与 T 没有整周期关系的时候，每个周期的 f(t)产生的正弦波相位不同，会相互抵消；而当选出的正弦波周期刚好是

的时候，这些正弦波刚好会同相叠加，于是我们只需要计算这些整数倍的频点的值即可，这时候傅里叶变换转化为傅立叶级数。如果 f(t)不仅是周期函数而且带宽有限，还可以进一步变成离散傅立叶变换（DFT），然后有快速算法（FFT），就不展开讲了。

====================（数学在上，扯淡在下）=========================

线性系统的适用范围呢？那就太广了。几乎所有的物理系统至少在某个范围中都可以看作线性可加的，这其中都会有线性系统存在，然后就会有对应的波，比如说物体振动的线性系统产生机械波，水面产生水波。电磁场也是线性可加的，于是电路系统中有交流电，空中的电磁场有电磁波。爱因斯坦的广义相对论中，引力是空间扭曲的结果，哇哦，空间的扭曲也是线性可加的，于是我们预言了引力波。

如果这些都不算什么，在量子力学中，量子力学过程可以用费曼图、使用可择历史来诠释。

哇哦，费曼图是线性可加的！

是的，费曼图线性可加的结果就是物质波。

你说正弦厉不厉害呢？

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附加：为什么我们经常会见到正弦波呢？

如前文所说，我们见到的许多系统都是线性系统，而线性系统也可以叫做滤波器。其中有一些线性系统，对所有频率的通过特性都很好，比如说真空中的电磁场，在这样的系统中可以传导任意的波形。然而在另一些系统中，线性系统对于频率有很强的选择性，只有特定的频率可以通过，其他频率很难通过。

比如说力学当中的共振系统。这个系统有固有的振动频率，当输入与这个频率不符合的时候，输入有的时候帮助系统振动，有的时候阻碍系统振动，振幅就很小；当输入与这个频率符合的时候，输入一直在帮助系统振动，振幅就很大。

比如说水面，与共振系统相似，有固有的振动频率，所以投进去石子就可以看到一圈圈的波纹，实际上是冲激响应被滤波的结果。

比如说声音，不同频率的声波由于衍射、反射特性不同，被环境吸收的比例也不同，产生混响的效果。高频一般明显会比低频衰减得快，所以我们对远方喊的时候，远方听到的声音会缺失高频分量。

比如说定长弦上的振动，一端的输入会在两端来回反射，而两端固定要求正向和反射的信号在另一端的地方叠加刚好为 0，只有当输入波长和弦长有半整数关系的时候才能稳定下来（这时候叫做驻波），否则会自己跟自己抵消。

比如说 LC 震荡电路，不同频率的时候电路的阻抗是不同的，特定频率上有最小的阻抗，也就有最大的振幅。

比如说半波振子天线，跟弦上驻波类似，电磁波在天线上形成驻波，有波长和天线长度的比例关系。

再比如说电子围绕氢原子运动，这实际上是德布罗意波自己与自己叠加，为了不跟自己抵消，跟前面驻波的例子相似，波长需要符合特定的条件，这个特定条件的出现就叫做量子化，从而产生了氢原子上的电子有固定轨道的现象。

在这些系统中，响应的幅度与频率有非常明显的关系，在有些系统中甚至输入噪声（可以看作所有频率分量都有的信号）也会被选出特定的频率，这时这些系统就会产生正弦波，我们就会观察到正弦波的出现。