为什么万有引力定律、库伦定律都是平方反比？平方反比有什么含义吗？

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烤羚羊，吃老本的物理教师、民科老咸鱼

在经典力学中，有这么一个神奇的 Bertrand 定理——在微小能量扰动下，只有两种有心力（central force）可以导致稳定且闭合的轨道：力或是随距离呈平方反比地减小（比如遵从平方反比律的经典万有引力、库仑力），或是随距离呈正比地增大（比如遵从胡克定律的径向谐振子）。唯有此二种情况，可以保证物体从经过一段路径后，又可以回到原先一模一样的位置，重复先前的运动模式，即轨道是闭合的。

这两种可能性中，胡克定律显然不能在任意尺度上都成立，因为如此会导致一个随距离可以无限增大的作用力，放到宇宙尺度这就很可怕了。所以在茫茫宇宙中，星体要保持轨道的稳定和闭合（当然咱这里没考虑广义相对论的效应），只剩下了唯一一种选择——从我们的太阳系，到星际空间中的诸多双星系统，遍布的闭合轨道其实在变相告诉我们，引力只能是随距离呈平方反比地递减。

以下摘自自己去年回炉 Herbert Goldstein 的经典力学教材的抄书笔记。

烤羚羊：分析力学读书笔记：Bertrand 定理

一个在有心力场中运动的物体的 Lagrangian 可以写作

$L= \frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-V(r) \tag{1}$

运用 Euler-Lagrange 方程，容易建立运动方程。其中关于

$\theta$

的运动方程会给出

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left( mr^2\dot{\theta} \right) \equiv \frac{\mathrm{d} l}{\mathrm{d}t }= 0 \tag{2}$

这说明角动量（angular momentum）

$l=mr^2\dot{\theta}$

是一个守恒量。

我们也可以写出关于

$r$

的运动方程：

$m\ddot{r} -mr\dot{\theta}^2+\frac{\partial V}{\partial r}=0 \tag{3}$

为了讨论轨道的形状，我们更关心

$r$

随角度

$\theta$

的变化。利用

$(2)$

式，我们可以把

$r$

随时间

$t$

的导数写成

$r$

随角度

$\theta$

的变化率：

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta} = \frac{l}{mr^2}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta} \tag{4}$

利用上面的关系，并注意到有心力

$f(r)=-\frac{\partial V}{\partial r}$

，我们可以将

$(3)$

式改写成：

$\frac{l}{r^2}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta}\left( \frac{l}{mr^2}\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \theta} \right) - \frac{l^2}{mr^3} = f(r) \tag{5}$

再作变换

$u=\frac{1}{r}$

，则有

$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \theta} = \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} u}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} \theta} = -\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} \theta} \\$

最终，轨道的方程可以被写成：

$\frac{\mathrm{d}^2 u }{\mathrm{d} \theta^2} + u = - \frac{m}{l^2u^2} f\left(\frac{1}{u}\right) \equiv J(u) \tag{6}$

如果这是一个圆轨道，那么显然有

$u_0 = J(u_0) \tag{7}$

上式其实等价于

$f(\frac{1}{u_0})=-\frac{u_0^3l^2}{m} = -\frac{\frac{1}{r_0^3} (mr_0^2\dot{\theta})^2}{m} = -m\dot{\theta}^2r_0$

，及有心力恰好等于离心力，这自然对应圆轨道。当然，对于一个稳定的圆轨道，它的能量还必须满足相应的条件：在

$r_0=\frac{1}{u_0}$

处的有效势能应有极小值。即便物体的运动受到微小的能量扰动，它依然将被束缚在这个圆轨道附近运动。

我们接下来要讨论的问题，也即是 Bertrand 定理的核心：如果进一步要求这个轨道是稳定且闭合的，这对作用力的形式会有怎样的约束？

记运动过程中

$u$

与

$u_0$

的偏差量为

$x$

：

$x = u-u_0 \tag{8}$

如果

$x$

不是很大，我们可以对

$J(u)$

在

$u_0$

附近作 Taylor 展开

$J(u) = u_0 + x J'(u_0) + \frac{1}{2}x^2 J''(u_0) + \frac{1}{6}x^3 J'''(u_0) + \cdots \tag{9}$

这样轨道方程方程

$(6)$

式可以被改写成：

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} \theta^2} + u_0 + x &= u_0 +x J'(u_0) + \frac{1}{2}x^2 J''(u_0) + \frac{1}{6}x^3 J'''(u_0) + \cdots \\ \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} \theta^2} + \beta^2 x &= \frac{1}{2}x^2 J''(u_0) + \frac{1}{6}x^3 J'''(u_0) + \cdots \end{aligned}\tag{10}$

其中我们引入了记号

$\beta^2 \equiv 1-J'(u_0)$

。

如果只保留到一阶项，丢掉

$(10)$

式右边所有的东西，就有

$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} \theta^2} + \beta^2 x = 0 \tag{11}$

如果

$\beta^2<0$

，

$x$

将随

$\theta$

指数增长或指数衰减，这显然不再会是一个稳定轨道。因此稳定轨道要求

$\beta^2>0$

，此时

$x$

将随

$\theta$

作周期性的正弦或余弦振荡。

代入

$J(u)$

的具体形式

$(6)$

式

$\begin{aligned} J'(u_0) & = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u} \left[ - \frac{m}{l^2u^2} f\left(\frac{1}{u}\right)\right]\Bigg|_{u=u_0} \\ &= \left[ \frac{2m}{l^2u^3}f\left(\frac{1}{u}\right) - \frac{m}{l^2u^2} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u}f\left(\frac{1}{u}\right) \right]\Bigg|_{u=u_0} \\ &= -2 + \frac{u_0}{f_0} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u}f\left(\frac{1}{u_0}\right) \\ &= -2 + \frac{1}{r_0f_0} \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} u}\Bigg|_{r=r_0} \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} r}\Bigg|_{r=r_0} \\ &= -2 - \frac{r_0}{f_0} \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} r}\Bigg|_{r=r_0} \\ & = -2 - \left(\frac{r}{f} \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} r}\right)\Bigg|_{r=r_0} \end{aligned} \\$

于是，轨道稳定的条件要求：

$\beta^2 = 3 + \left(\frac{r}{f} \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} r}\right)\Bigg|_{r=r_0} >0 \tag{13}$

选择合适的方位作为

$\theta$

的零点，方程

$(11)$

的解可以是：

$x = a\cos\beta \theta\tag{14}$

如果进一步要求轨道闭合，则参数

$\beta$

必须是一个有理数。显然，我们期待在各种不同的

$r_0$

处都可以有稳定的闭合轨道。想象当

$r_0$

连续变化时，参数

$\beta$

应当保持恒定才能保证轨道的闭合，因此

$\beta$

应当具有处处相等的恒定值。于是我们可以把

$(13)$

式当作关于

$f(r)$

的微分方程，从中可以解出作用力随距离的关系：

$f(r) = \pm \frac{k}{r^{3-\beta^2}} \\$

$f(r)>0$

对应于排斥作用，容易证明此种情况下的圆轨道的有效势能不是极小值，因此并不是稳定轨道。所以满足需求的作用力有

$f(r)<0$

，对应于吸引作用，可以写作：

$f(r) = - \frac{k}{r^{3-\beta^2}} \tag{15}$

至此，我们得到了一个结论：如果轨道在微小扰动下依然能保持稳定且闭合，则有心力的大小将符合

$(15)$

式给出的关系，其中

$\beta$

须是有理数。

如果扰动再大一点，计算就必须也要考虑轨道方程

$(10)$

式中更高阶项的贡献了。如果轨道依然是闭合的，我们可以以

$(14)$

式为基础，将它视作是轨道方程的 Fourier 展开，其最主要的贡献来自于

$\cos\beta\theta$

项，但是也可以引入更多的展开项来描述更大扰动情况下的轨道方程。我们可以尝试写出：

$x=a_0 + a_1 \cos\beta\theta + a_2 \cos2\beta\theta + a_3 \cos3\beta\theta + \cdots \tag{16}$

我们期待展开式中，

$a_1 \gg a_0 \sim a_2 \gg a_3 \gg \cdots$

，在接下来的计算中，我们会关注

$a_1$

相关的项，不含

$a_1$

的交叉项将被忽略。在考虑方程

$(10)$

的右边的展开后，我们会发现对

$x$

的展开式保留到

$\cos3\beta\theta$

项就够了，暂且不需要额外的高阶项。当然，在后面的计算完成后，我们也会回头来检验这些估计是否合理。

接下来要做的事情，就是把

$(16)$

式塞进方程

$(10)$

中蛮力计算了。方程两边各项先单独拿出来算一算：

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} \theta^2} &\approx -a_1\beta^2\cos\beta\theta -4a_2\beta^2\cos2\beta\theta-9a_3\beta^2\cos3\beta\theta \\ \beta^2 x &\approx a_0 \beta^2 + a_1\beta^2\cos\beta\theta + a_2\beta^2\cos2\beta\theta + a_3\beta^2\cos3\beta\theta \\ \frac{1}{2}x^2 J'' &\approx \frac{1}{2}J'' \left[a_1^2\cos^2\beta\theta + 2a_0a_1\cos\beta\theta + 2a_1a_2 \cos\beta\theta \cos2\beta\theta\right] \\ &= \frac{1}{2}J'' \left[\frac{1}{2}a_1^2(1+\cos2\beta\theta) + 2a_0a_1\cos\beta\theta + a_1a_2 (\cos\beta\theta +\cos3\beta\theta)\right]\\ &= \frac{1}{4}a_1^2 J'' + \left( a_0a_1+\frac{1}{2}a_1a_2 \right) J''\cos\beta\theta + \frac{1}{4}a_1^2 J''\cos2\beta\theta + \frac{1}{2}a_1a_2 J''\cos3\beta\theta \\ \frac{1}{6}x^3 J''' &\approx \frac{1}{6} J''' a_1^3\cos^3\beta\theta \\ &= \frac{1}{6} J''' a_1^3 \times\frac{1}{4}(\cos3\beta\theta+3\cos\beta\theta) \\ &= \frac{1}{8} a_1^3 J''' \cos\beta\theta + \frac{1}{24} a_1^3 J''' \cos3\beta\theta \end{aligned} \\$

然后所有东西放到一起，得到一个很可怕的方程：

$\begin{aligned} a_0 \beta^2 & -3a_2\beta^2\cos2\beta\theta-8a_3\beta^2\cos3\beta\theta \\ &= \frac{1}{4}a_1^2 J'' + \left( a_0a_1J''+\frac{1}{2}a_1a_2J'' + \frac{1}{8} a_1^3 J'''\right) \cos\beta\theta \\ & \quad+ \frac{1}{4}a_1^2 J''\cos2\beta\theta + \left( \frac{1}{2}a_1a_2 J'' + \frac{1}{24} a_1^3 J'''\right)\cos3\beta\theta \end{aligned} \tag{17}$

比较两边相应余弦项的系数，有：

$\begin{array}{rcll} \frac{1}{4}a_1^2 J'' &=& a_0 \beta^2 & \qquad(18a) \\ a_0a_1J''+\frac{1}{2}a_1a_2J'' + \frac{1}{8} a_1^3 J''' &=& 0 & \qquad(18b) \\ \frac{1}{4}a_1^2 J'' &=& -3a_2\beta^2 & \qquad(18c) \\ \frac{1}{2}a_1a_2 J'' + \frac{1}{24} a_1^3 J''' &=& -8a_3\beta^2 & \qquad(18d) \end{array} \\$

我们已经知道了我们关心的有心力必须具有

$(15)$

式的形式，代入

$J(u)$

的具体形式即

$(6)$

式中，可以得到：

$J(u) = - \frac{m}{l^2u^2} \times \left( -k{u^{3-\beta^2}} \right) = \frac{km}{l^2}u^{1-\beta^2} \tag{19}$

逐次求导，可以得到

$J'(u_0)$

，

$J''(u_0)$

和

$J'''(u_0)$

的表达式：

$\begin{aligned} J(u_0) &= \frac{km}{l^2}u_0^{1-\beta^2} \equiv u_0 \\ J'(u_0) &= \frac{km}{l^2}(1-\beta^2) u_0^{-\beta^2} \\ & = 1-\beta^2 \\ J''(u_0) &= \frac{km}{l^2}(1-\beta^2)(-\beta^2) u_0^{-1-\beta^2} \\ &= \frac{-\beta^2(1-\beta^2)}{u_0} \\ J'''(u_0) &= \frac{km}{l^2}(1-\beta^2)(-\beta^2)(-1-\beta^2) u_0^{-2-\beta^2} \\ &= \frac{\beta^2(1-\beta^2)(1+\beta^2)}{u_0^2} \\ \end{aligned} \tag{20}$

将

$(20)$

式代入

$(18)$

各式中，就可以求出轨道方程的 Fourier 展开式中的各项系数。首先处理比较好对付的

$(18a)$

和

$(18c)$

：

$\begin{aligned} a_0 &= \frac{a_1^2 J''}{4\beta^2} = -\frac{1-\beta^2}{4u_0}a_1^2 \\ a_2 &= \frac{-a_1^2 J''}{12\beta^2} = \frac{1-\beta^2}{12u_0}a_1^2 \end{aligned} \tag{21}$

由此我们也可以看到，

$\frac{a_0}{a_1}\sim\frac{a_1}{u_0}$

，以及

$\frac{a_2}{a_1}\sim\frac{a_1}{u_0}$

，说明确实有

$a_0, a_2 \ll a_1$

。

再来对付

$(18d)$

：

$\begin{aligned} a_3 &= -\frac{1}{8\beta^2} \left( \frac{1}{2}a_1a_2 J''+ \frac{1}{24}a_1^3 J'''\right)\\ &= -\frac{1}{8\beta^2} \left( \frac{1}{2}a_1 \times \frac{1-\beta^2}{12u_0}a_1^2 \times\frac{-\beta^2(1-\beta^2)}{u_0}+ \frac{1}{24}a_1^3 \times \frac{\beta^2(1-\beta^2)(1+\beta^2)}{u_0^2}\right)\\ &= -\frac{\beta^2(1-\beta^2)}{96u_0^2}a_1^3 \end{aligned} \tag{22}$

从中可以看到

$\frac{a_3}{a_1} \sim \left( \frac{a_1}{u_0}\right)^2$

，说明

$a_3$

的确是相比于

$a_0$

和

$a_2$

更高阶的小量，所以我们这一波计算的处理是合理的。

最后也是最漂亮的结果，即 Bertrand 定理的核心内容，来源于剩下的

$(18b)$

式。把我们得到的诸多结果通通代进来：

$\left(-\frac{1-\beta^2}{4u_0}a_1^2 + \frac{1}{2}\frac{1-\beta^2}{12u_0}a_1^2\right)\times a_1\times \frac{-\beta^2(1-\beta^2)}{u_0} + \frac{1}{8}a_1^3\times\frac{\beta^2(1-\beta^2)(1+\beta^2)}{u_0^2}=0 \\$

化简后可以得到一个并不是那么可怕的多项式方程：

$\begin{aligned} \frac{5\beta^2(1-\beta^2)^2a_1^3}{24u_0^2} + \frac{\beta^2(1-\beta^2)(1+\beta^2)a_1^3}{8u_0^2}=0 \\ \frac{a_1^3\beta^2 (1-\beta^2)}{24u_0^2} \left[ 5(1-\beta^2) + 3(1+\beta^2)\right] =0 \\ \frac{a_1^3}{12u_0^2}\beta^2 (1-\beta^2)(4-\beta^2) =0 \end{aligned} \tag{23}$

上式要成立，仅有三种可能：

$\beta^2=0, 1, 4$

。其中

$\beta^2=0$

很无趣，因为它意味着和圆轨道的偏差为恒定值的轨道，它依然是个正圆轨道，因此显然是闭合的。而另两种情况对应于更有趣的物理图像。我们可以利用

$(15)$

式写出对应的有心力的形式：

$\begin{aligned} \beta^2=1 \qquad &\Rightarrow \qquad f(r) = -\frac{k}{r^2} \\ \beta^2=4 \qquad &\Rightarrow \qquad f(r) = -kr \\ \end{aligned} \tag{24}$