眼睛的这种能力被称为共轭凝视（conjugate gaze）

题主的问题可以分解为以下两个问题：

1. 为什么需要共轭凝视

双眼只有在共轭凝视的情况下才能看清东西，不然左右眼看到的图像不一样，会重影（复视，双眼视轴不协调，目标物体影像不能落在双侧视网膜对应点上）。使用单眼可以解决重影，但是会失去对深度（距离）的感知。

2. 为什么能共轭凝视

人有四个系统处理共轭凝视：

扫视系统(saccadic system)，最常调用的系统，在人主动的调整凝视方向时使用[1]；

追踪系统(pursuit system)，追踪运动物体；

视动反射系统(Optokinetic reflex system)，物体出现在视野，眼睛会追踪，当物体消失，人眼会反射性的回到凝视物体首次出现的位置；

前庭 - 眼 反射系统(Vestibulo–ocular reflex system)，协调头部的运动以获得稳定的图像，是眼睛的“三轴稳定平台”。

仅以扫视系统的眼动控制为例：

扫视命令既可以由额叶眼领域(FEF, Frontal eye fields)“有意的”发出，也可以由脑干核团“下意识”的发出：

指令发出到六组眼外肌，以做出相应的动作。

外直肌(lateral rectus, LR; 内直肌(medial rectus, MR); 上直肌(superior rectus, SR); 下直肌(inferor rectus, LR) ; 上斜肌(superior oblique, SO); 下斜肌(下斜肌, LO)

这些肌肉组合起来控制眼动：

你或许会认为最后一个不是，其实那是看近处物体时双眼的情况。

下面我们仅以水平向右扫视注视为例（上图中第二行第一列）

脑干中有两个核团中心，分别管理眼睛的水平和垂直方向的运动注视。每个中心在脑干中左右各一，在我们要考虑的这种情况（水平向右扫视注视），从皮层或者脑干眼动控制中心发出的命令，会激活右向水平注视中心(right horizontal gaze center, PPRF)[2]：

PPRF 会发出指令，经过下级神经核团的调制，传递到右眼的外直肌(LR)和左眼的内直肌(MR)，于是做出双眼向右凝视的运动。

在这个控制过程中，你或许注意到，眼动指令要先激活 PPRF，然后再经过下级核团的调制，才发出协调的控制指令到眼外肌一做出相应的眼动。在这个控制机制下，想要一个眼睛动，同时另一个眼睛不动，其实是很困难（不可能）的，因为人脑控制不了 PPRF 下级核团的活动，这些核团的指令调制机制是自发的，经过千百万年的进化形成的。除非 PPRF 下级核团、神经、肌肉等出现疾病状态，才会使双眼的运动不协调，这大概是任何人都不想面对的情况。

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[1] Robinson, D. A. "The mechanics of human saccadic eye movement." The Journal of physiology 174.2 (1964): 245-264.

[2] Sparks, David L., and Ellen J. Barton. "Neural control of saccadic eye movements." Current opinion in neurobiology 3.6 (1993): 966-972.