因为两群羊,老王和老李开始了暗潮汹涌的心理战

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因为两群羊,老王和老李开始了暗潮汹涌的心理战

图片:《喜羊羊与灰太狼之羊年喜羊羊》

公地悲剧的悲剧

傅渥成,统计物理 / 复杂系统 / 生物物理

两个牧民(老王和老李)在同一片草地上放牧,假如他们各有 100 只羊,而草地自身的生长仅够 150 只羊的生长,那么这两个牧民可能就会开始打架了,不过更严重的结果是,草地本身会发生退化,需要花很长的时间才能恢复到初始的状态,这对老王和老李的共同利益都是有害的。这个故事会让我们想到囚徒困境,老王会觉得:要是老李把他家全部的羊全弄到草地里,我不把所有的羊弄进来就亏了,要是老李竟然不把所有的羊放进来,那是他自己吃亏,反正不管怎样,我把所有的羊放进来就对了。这个故事可以简单地解释公地悲剧的产生。

不过故事还没结束。

因为草地变成了荒漠,老王和老李都没法放羊了。他们这时想,不行了不行了,我们都应该来保护环境了,于是签订了合约,在较长的一段时间内停止在这片公地上放牧,让草地尽可能恢复。他们的这一行为非常有效地帮助草地恢复,很快他们就上了新闻联播,成了道德模范,也感动了中国……直到有一天,他们发现草地已经完全恢复了。

老王和老李都认识到保护环境的重要性,并且达成了合作,让环境得到了恢复,看到眼前的成绩,他们非常开心,于是双方都决定从今天开始,大家又可以在这片草地上放羊了。禁令解除以后,老王首先想到的是自己在这段时间里做出了巨大的牺牲,于是马上的,叫上自家所有的羊跑到草地上吃起来,不过他这时发现老李家的羊早就已经在草地上吃起来了……于是环境重新被破坏,然后双方再次治理,然后再次破坏……这是公地悲剧的不断重演。

老王老李养羊的故事可以用上面的图来表示,图中左图蓝线表示在吃草的羊的比例,图中绿线表示环境的变化。右图是一个相图,同样反映出这两个量的振荡特征。

老王老李的故事的暗示了一个可能的悲剧前景,我们相信未来可能环境问题会有所缓解,但当法律或道德的约束可以忽略不计的时候,说不定等到环境变好的时候,大家就又会开始放心地破坏环境了。但这也并不是故事的全部,在真实的世界,可能因为各类复杂的原因(例如「科学发展观」和「社会主义核心价值体系」的贯彻,或者两人成了「道德模范」之后真严格要求自己了,当然,更可能的还是因为最近市场上羊的价格下跌或者制作假羊肉的黑心工厂的技术创新导致假羊肉制作成本降低)而采取「合作」的态度,这就像二胎政策后大家并不再有狂生小孩的意愿一样。为了描述这些复杂的动力学,可以用一个统一的框架来对这样的博弈问题进行建模。

如上图所示,首先老王和老李会发生博弈,两人博弈时的回报矩阵是与环境的变化有关的,环境被破坏了,大家的收益会减少,这很容易理解。而这造成的结果是他们合作或背叛的概率发生变化,例如在上面的例子中,当环境变得恶化时,大家都觉得受不了了,于是他们更容易合作。如果一片草地上有很多的老王和老李,那么合作(背叛)者比例的变化会让环境也相应产生变化,进而影响两人博弈时的回报矩阵……如此循环。

当然,真实世界里面的环境的振荡等现象可能会非常复杂,我们进行一点定性分析(推导参见本文最后的论文)。例如前面我们已经提到,当假羊肉充斥市场时,老王和老李可能觉得自己越是卖羊就越亏,这时候两人可能会更容易在最终实现合作,一起保护环境,这对应于上图中的第二种情况(不动点);而如果大力打击假羊肉,且当羊肉价格上涨时,两人的这种争夺可能不断加剧,最终导致环境好了大家就破坏,环境差了大家就保护的轮回,这对应于上图的第一种情况(极限环)。当然,如果对公共资源的保护如果要靠假羊肉来实现,那就真是公地悲剧的悲剧了。

本文的内容主要是对 Joshua S Weitz, Sam P Brown, Ceyhun Eksin, Keith Paarporn, William C Ratcliff “Replicator Dynamics with Feedback-Evolving Games: Towards a Co-Evolutionary Game Theory” (biorxiv.org/content/ear) 文章的介绍。前不久在意大利开会时,Josh 在一个晚上带着所有的参会者来玩博弈的游戏,让人印象非常深刻。希望我的这个简单的介绍也会让大家对非线性动力学和博弈论的结合产生兴趣。

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