在一个环里，1 是乘法单位元，0 是加法单位元。假设这个环不是零环，那么 1 和 0 就是两个不同的元素。

因为环在乘法下是幺半群，所以对于任意的元素 a，a×1=a=1×a是环的公理。由此可得第一种证明思路：取 a=0，则 0×1 = 1×0 = 0。

第二种证明思路依赖于a×0=0=0×a这个性质，该性质可以直接由环的公理（包括 a×1=a=1×a）推导得出：

a×0 = a×0 + 0 = a×0 + (a + (-a)) = (a×0 + a) + (-a) = (a×0 + a×1) + (-a) = a×(0+1) + (-a) = a×1 + (-a) = a + (-a) = 0

0×a = 0×a + 0 = 0×a + (a + (-a)) = (0×a + a) + (-a) = (0×a + 1×a) + (-a) = (0+1)×a + (-a) = 1×a + (-a) = a + (-a) = 0 = a×0

值得注意的是，这种证明只需要用到环的公理，不需要假设乘法交换律或乘法的逆运算。

于是，取 a=1，则 0×1 = 1×0 = 0。

综上所述，两种思路都可以证明，但第一种直接用公理，步骤略少一些。

如果这种证明无法解决题主的疑惑，那么我就再提供一个因果关系角度的分析。「E 是因为 C1，还是 C2？」这样的问句往往在询问实际原因（actual cause）。例如，「已知以下三种状况同时存在，车祸的原因到底是司机酒驾，还是雨天路滑，还是刹车故障？」题主的问题，在哲学里被称为 symmetric overdetermination：列出的任何一个因都能造成这个果。

寻找实际原因的过程，通常也是寻找责任（道德责任或法律责任）的过程。但是，我个人不推荐用因果关系的思维解决数学问题。因为，数学中的证明（proof）、蕴含（entailment）、实质条件（material conditional）都是有良定义的概念，学过数理逻辑就可以理解。可是，现实中的因果关系并没有一个被普遍接受的良定义。

在学习因果关系的过程中，我时常会提醒自己：能用严谨的数学语言描述的问题，就不必要加入「因果」这样模棱两可的词汇。例如，identifiability of linear non-Gaussian additive noise model 尽管被称为一个「因果识别」问题，它的实际定义并不包含任何「因果」的成分，用数学就能完美描述。

所以，我先前把题主问题中的「因为」转化成了「可证明」进行论述：

1. 从公理「1 乘任何数字都等于那个数」，我们可以证出「1×0＝0」；
2. 从性质「0 乘以任何数字都等于 0」，我们也可以证出「1×0＝0」；
3. 从公理「1 乘任何数字都等于那个数」以及环的一些其他公理，我们可以证出性质「0 乘以任何数字都等于 0」。

补充：在半环里，「0 乘以任何数字都等于 0」和「1 乘任何数字都等于那个数」都是公理。

我觉得产生这个疑问是因为题主混淆了“因为”的用法。

> 因为 1 乘任何数等于另一个数，所以 1x0=0。

这是一个使用命题的过程。题主问题表达的是一种关联事件的感觉，类似于“我带伞，因为下雨了”。

在“我带伞，因为下雨了”中，并不是说“下雨了”可以推出“人带伞”（因为人可以忘带或者懒得带），这句话是在表明带伞的目的，或者说从 circumstance 的角度归因“带伞”。

而 1x0=0 是没有这种“目的”的，它的成立不是为了 demonstrate 那两个命题，而是它就是成立。

在数学学习中更类似“带伞”的例子是：想要证明 a，又已经知道 b 推出 a，于是解答的前半部分证明 b，并利用 b 推出 a 得到结论。

在形式化证明中说“因为 b 所以 a”，是在使用“b 推出 a”这个命题。

在讲解思路的时候说“因为 b 推出 a，所以考虑去证明 b，进而得到结论”，或者更类似题目描述一些，“题目要证明的 a 是因为 b 而成立”，这是在解释去寻求对 b 的证明的动机，在归因这样思考的目的，并不是在说命题成立的（形式化意义上的）“原因”，命题成立是公理系统里一坨使然，非要说“原因”的话可以说是公理系统，而不是另一个（可以用来推出它的）命题，因为命题的真值是命题本身的属性。