最近半个多月，美国彩票 PowerBall 史无前例的巨额奖金池在中国都被炒得火热，朋友圈甚至出现了代购彩票的业务。截止美东时间 1 月 12 日下午 3 点 15 分，特等奖（Jackpot）金额达到 $1.5 Billion，即 15 亿美元 ，这是全球有史以来最高的彩票奖金，扣税后也能拿到大约 9.3 亿美元，换算成人民币是 60 亿左右 。根据 2015 年的胡润富豪榜，差不多可以排进国内富豪 top1000 了。是不是两眼放光？心跳加速？

别急，据说中奖的概率比被雷劈还小，可是这概率到底是多少呢？良（xin）心（ji）彩票机构把每种中奖组合的概率都清清楚楚写在了官网上。

图 1：彩票中奖概率。(Welcome to Powerball)

这里也顺带介绍一下强力球的玩法。强力球前五个数是从 1 到 69 号中选 5 个（不能重复），PowerBall（简称 PB）是另从 1 到 26 号中选 1 个球。中奖的号码不计顺序，只看选到了没有。每注彩票 2 美元，另外还可以选择多付 1 美元选择玩“Power Play”，则有机会随机将除特等奖以外的奖金翻 2~10 不等的倍数。在这里暂时不做考虑。

接下来我们就来看看各级奖的概率是怎么算出来的。

首先看看总共可能的组合有多少，这将是所有中奖类型的分母。初中数学知识告诉我们，从 69 中选 5 的组合数是

C69,5 = 69!/5!64! = 69*68*67*66*65/5*4*3*2*1 = 1123,8513

而 PB 是从 26 中选 1，

C26,1 = 26!/1!25! = 26

所以总的可能出现的组合数是

C69,5*C26,1 = 2,9220,1338

• 从大家最关心的特等奖开始：

头奖只有唯一的一种组合，所以概率是 1/2,9220,1338 ~= 3.42*10^-9

神奇的事情是现在的奖金已经达到了 9.3 亿，所以是不是说如果有人筹集到 5.8 亿美元把所有的组合数都买一遍，肯定能中奖，还能赚 3.5 亿呢？收益率 60%，比炒股划算多了！但事实上还有两个因素要考虑，一是万一有人刚好运气爆表也买到了头奖，那奖金要平分，这样一来就亏大了；二是操作上的问题，强力球只能在实体店售卖点手动涂号现金购买，据说要买完所有的组合要 9 年时间……

• 然后是一等奖概率（5 个白球对，红球 PB 不对，奖金 100 万美元）

5 个白球对只有一种组合，红球不对有 26-1 = 25 种组合，所以总共是 1*25 = 25 种组合，那么得一等奖的概率就是 25/2,9220,1338 ~= 8.56*10^-8 ~= 1/1168,8054，是特等奖概率的 25 倍。

• 二等奖（4 个白球对，红球 PB 对，奖金 5 万美元）

从中奖的 5 个白球中选 4 个作为你的号码，那么有 C5,4 = 5 种组合；不对的 1 个白球从剩余的 64 个白球中选，有 C64,1 = 64 种组合；红球只有唯一的选择。所以总共的组合数是 5*64*1 = 320，那么中奖概率就是 320/2,9220,1338 ~= 1.10*10^-6 ~= 1/91,3129。

• 三等奖 A（4 个白球对，红球 PB 不对，奖金 100 美元）

白球部分和二等奖一样，不过红球 PB 不对的可能有 25 种，所以总的组合数是 5*64*25 = 8000，中奖概率为 8000/2,9220,1338 ~= 2.74*10^-5 ~= 1/3,6525。

• 三等奖 B（3 个白球对，红球 PB 对，奖金 100 美元）

从中奖的 5 个白球中选 3 个作为你的号码，那么有 C5,3 = 5!/3!2! = 5*4/2*1 = 10 种组合；不对的白球是从 64 各中选取 2 个，有 C64,2 = 64!/62!2! = 64*63/2*1 = 2016（祝大家 2016 年发大财行大运！）种可能；红球只有唯一的可能，所以总共是 10*2016*1 = 20160 种组合，获奖概率是 20160/2,9220,1338 ~= 6.90*10^-5 ~= 1/1,4494。

三等奖 A 的概率明明比 B 的概率低那么多，为什么奖金是一样的啊？中 A 的人心里可能气死了……当然如果他不知道的话不要告诉他好了，哈哈哈。

接下来就是喜（bu）闻（zu）乐（gua）见（chi）的小奖们了。

• 鼓励奖 A（3 个白球对，红球 PB 不对，奖金 7 美元）

白球的情况和三等奖 B 一样，红球不对则是 25 种可能，所以总共是 10*2016*25 = 50,4000 种，所以概率是 50,4000/2,9220,1338 ~= 1.72*10^-3 ~= 1/580。

• 鼓励奖 B（2 个白球对，红球 PB 对，奖金 7 美元）

对的白球可能组数为 C5,2 = 5!/2!3! = 5*4/2*1 = 10；不对的白球可能组数为 C64,3 = 64!/3!61! = 64*63*62/3*2*1 = 4,1664 种；红球对了所以是唯一的一种。总的可能组数为 10*4,1664*1 = 41,6640 种，所以概率为 41,6640/2,9220,1338 ~= 1.43*10^-3 ~= 1/701。

可见鼓励等奖两种情况概率还差不多。

• 安慰奖 A（1 个白球对，红球 PB 对，奖金 4 美元）

对的白球组数为 C5,1 = 5；不对的白球组数为 C64,4 = 64!/4!60! = 64*63*62*61/4*3*2*1 = 63,5376；红球对了所以是唯一的一种。所以总的组数是 1*5*63,5376 = 317,6880，获奖概率是 317,6880/2,9220,1338 ~= 0.0109 ~= 1/92。

• 安慰奖 B（白球全不对，红球 PB 对，奖金 4 美元）

白球从不对的 64 个中选 5 个，故为 C64,5 = 64!/5!59! = 64*63*62*61*60/5*4*3*2*1 = 762,4512；红球对了所以是唯一的一种。所以总的组数就是 762,4512，中奖概率为 762,4512/2,9220,1338 ~= 0.026 ~= 1/38。

有趣的是，看到红球对为中奖时，很多人的第一反应觉得中奖概率应该是 1/26，但实际上却是接近 1/38。这是因为安慰奖 B 是说只有红球对，白球全不对，所以要排除掉白球有对的情况，既更高的奖项的情况，所以中安慰奖 B 的概率就比 1/26 更小一些。

总的中奖概率则是把所有的情况加起来：

1+25+320+8000+2,0160+5,0400+41,6640+317,6880+762,4512=1175,0538

中奖概率则是 1175,0538/2,9220,1338~=0.0402~=1/25。

值得一提的是，除了以上给出的情况以外，有两种有选对球但是没有奖的情况是

1）白球对两个，红球不对（C5,2*C64,3*C25,1=1041,6000,P~=0.0356~=1/28）

2）白球对 1 个，红球不对（C5,1*C64,4*C25,1=7942,2000,P~=0.272~=1/4）

因为概率太大所以就没有奖了。

除了中奖概率，我们还可以根据对应奖金来算一算中奖期望值，也就是概率 × 奖金：

表 1：中奖概率及期望。（美元）

从期望中可以看到，总的期望值是 5.45 美元，是购买彩票费用 2 美元的 2 倍多，看起来很划算的样子。但事实上这 5.45 美元中有 5.13 美元都是源自特等奖，其他所有奖项加起来的期望值才 3 毛多。也就是说，如果不考虑特等奖的话，买彩票这件事情还是很不划算的。而且这些期望都是没有考虑高额税收的情况，实际拿到的钱还要少得多。

最后祝大家运气蹭蹭蹭！大奖中中中！

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参考条目：

1. Powerball - Home

2. Powerball Odds

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